证明：若单调有界函数f(x)可取到f(a).f(b)之间的一切值，则f(x)在[a,b]上连续

首先, 单调函数在每点都存在左右极限.
以一点c处的左极限为例, 不妨设f(x)单调增.
对x < c, 有f(x) ≤ f(c). 于是f(x)在x < c的范围内的取值有上界, 由确界原理存在上确界, 设为A.
我们证明: 事实上A就是f(x)在c点的左极限.
任意ε > 0, 由A是上确界, 存在y < c使A-ε < f(y) ≤ A.
而f(x)单调增, 因此对任意x∈(y,c)均有A-ε < f(x) ≤ A, 故|f(x)-A| < ε.
于是A即为左极限, 每点均存在左极限. 右极限同理可证.

下面证明原题.
仍不妨设f(x)是增函数.
任取c∈(a,b), f(x)在c点的左右极限A,B与函数值满足不等式f(a) ≤ A ≤ f(c) ≤ B ≤ f(b).
若A < f(c), 则由单调性, f(x)取不到A与f(c)之间的值, 矛盾. 于是只有A = f(c).
同理B = f(c). 因此f(x)在c左右极限均存在并等于f(c), 即f(x)在c点连续.
在端点a处, 成立右极限 = f(a), b处成立左极限 = f(b).
f(x)在[a,b]连续.

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