你所谓的整数域，指的是整环(integral domain)么（这个一般不是域）？还是整数所组成的环Z（这个Z也不是域）？
如果指的是integral domain，那比较容易。如果A自己不是，那么A里面有ab=0，其中a和b都不是0，那么a和b也是A[x]里的非零元，并且乘起来等于0，所以A[x]也不是整环。
如果指的是Z，那么A[x]=Z是主理想整环，A必须是域，而且是A[x]的子环。但是Z的所有非零子环都不是域。我想你这个题可能不是这个意思。
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