复合函数同增异减

老师：复合函数同增异减法的原理是什么呢...

2026年09月27日 16:47

有2个网友回答

网友（1）：

由法则可知，复合函数单调性的情形有四种. 我们就其中的第二种情形进行证明. 其他的同理可证.
已知：y=f(u)，u=g(x)，复合函数y=f[g(x)]，x∈D. 且[a，b]含于D.
u=g(x)在[a，b]上是增函数，y=f(u)在[g(a)，g(b)]上是减函数.
求证：y=f[g(x)]在[a，b]上是减函数.
证明设x1，x2∈[a，b]，且x1因为u=g(x)在[a，b]上是增函数，
所以u1=g(x1)又y=f(u)在[g(a)，g(b)]上是减函数，
所以f(u1)>f(u2)，即f[g(x1)]> f[g(x2)].
于是y=f[g(x)]在[a，b]上是减函数.

网友（2）：

解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)[(2n+1)/(2n+3)][n/(n+1)]^2=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。
又，im(n→∞)丨Un+1/Un丨=lim(n→∞)丨x/3丨/R<1，∴-3∴收敛区间为-3≤x<3。供参考。