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已知函数f(x)=√ x,g(x)=alnx,其中a>0,设函数h(x)=f(x)-g(x),求h(x)的最小值

2026年09月28日 17:24

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已知函数f(x)=√
x,g(x)=alnx,其中a>0,设函数h(x)=f(x)-g(x),求h(x)的最小值
h(x)=f(x)-g(x)=√x-alnx（a＞0）
定义域为：x＞0
则，y'=(1/2)*(1/√x)-(a/x)=(√x)/(2x)-(2a/2x)
=[(√x)-2a]/(2x)
则当y'=0时，有：√x=2a
所以，x=4a^2
当x＞4a^2时，y'＞0，函数y单调递增；
当0＜x＜4a^2时，y'＜0，函数y单调递减
所以，函数y在x=4a^2处取得最小值
所以，y|min=√(4a^2)-aln(4a^2)=2a-a*[ln4+lna^2]
=2a-(2ln2)a-2alna