如图,两个半径为1的⊙O1与⊙O2外切于点B,⊙O3与这两个圆都外切,切点分别为A,C,且 ∠O3=90°。

求：(1)弧AB+弧BC+弧AC的值(2)图中阴影部分的面积...

2026年09月25日 05:05

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(1)

设小圆直角为r

∵O₁O₃=r+1，O₂O₃=r+1，∴O₁O₃=O₂O₃

又∵∠O₃=90°，∴ΔO₁O₂O₃为等腰直角三角形，∴∠O₁=∠O₂=45°

根据勾股定理，O₁O₃²+O₂O₃²=O₁O₂²，∴2(r+1)²=2²，r=√2-1

于是弧AB=弧BC=(45/360)×2π×1=π/4，弧AC=(90/360)×2π×(√2-1)=(√2-1)π/4

弧AB+弧BC+弧AC=π/4+π/4+(√2-1)π/4=(√2+1)π/4

(2)

ΔO₁O₂O₃面积=O₁O₃·O₂O₃/2=√2·√2/2=1

扇形ΔO₁AB面积=扇形ΔO₂BC面积=(45/360)×π×1²=π/8

扇形ΔO₃AC面积=(90/360)×π×(√2-1)²=(3-2√2)π/4

于是阴影面积=ΔO₁O₂O₃面积-扇形ΔO₁AB面积-扇形ΔO₂BC面积-扇形ΔO₃AC面积

=1-π/8-π/8-(3-2√2)π/4=1-(2-√2)π/2