好吧问答库 > 点Q为曲线ρ=1上的一动点,点P是曲线x^2=4(y+5)上一动点,则|PQ|的最小值为

点Q为曲线ρ=1上的一动点,点P是曲线x^2=4(y+5)上一动点,则|PQ|的最小值为

2026年09月10日 12:22

有2个网友回答

网友（1）：

设O为坐标原点，则|OP|=√(x²+y²)=√[4(y+5)+y²]=√[(y+2)²+16]，
当y=-2时，|OP|min=4，
曲线ρ=1化为普通方程是x²+y²=1，这是一个单位圆，
所以当|OP|最小，且点Q在线段OP上时，|PQ|min=|OP|min-!=4-1=3。

网友（2）：

曲线ρ=1即x^2+y^2=1,即以原点为圆心，以1为半径的圆。曲线x^2=4(y+5)是以（0，-5）为顶点，与x轴交与(-2*5^2,0)和(2*5^2,0)开口向上的抛物线，这三点都在圆外，若x^2=4(y+5）有点在圆内或圆上那么和x^2+y^2=1必有交点，（因为抛物线是连续的。）那么|PQ|最小值为0。若都在圆外。圆外一点到圆上的点的最近距离是此点到圆心的距离减去半径。（这个问题是解题关键，证明很简单。）下一步好办了，求出x^2=4(y+5)到原点最近的距离为4，大于半径说明抛物线上的点都在圆外，4减去半径1，得3，就是 |PQ最小距离。|