怎样用一条直线将一个三角形的面积和周长同时平分？（尺规作图法）

如果是等腰三角形，显然底边上的中线就是所求的直线。以下只考虑非等腰三角形情况。

一、分析所求直线的位置

假设三角形三边长分别为a、b、c。由于是非等腰三角形，如果存在这样的直线，则所求的直线必然与三角形的两条边有交点(与三角形顶点不重合)，且其与较长的两边相交的可能性更大。如下图所示，接下来需要确定x、y的值。

根据题意可知x+y=(a+b+c)/2，xySinα/2=(abSinα/2)/2，即xy=ab/2

于是可知x、y是一元二次方程x²-[(a+b+c)/2]x+ab/2=0的两个解。(也就是说，当(a+b+c)²-8ab＜0且a＞b＞c时，所求的直线是不存在的，例如a=9、b=8、c=6.5。下边只考虑存在的情形。)

不妨令x≥y，根据一元二次方程的求解公式，得：

x=[(a+b+c)+√((a+b+c)²-8ab)]/4，y=[(a+b+c)-√((a+b+c)²-8ab)]/4

所以找到题中所求的直线，只需要根据已知的a、b、c线段长，用尺规找出x、y的长度即可。

二、作图

(1)作长为√(2ab)的线段：

先做一个斜边为(a+b)、且斜边上的高将斜边刚好分成a和b两部分的直角三角形，根据三角形的相似性可知斜边上的高为√(ab)，在此基础上再以√(ab)为长作一个等腰直角三角形，则该三角形的斜边长为√(2ab)

(2)作长为√((a+b+c)²-8ab)]的线段：

以(a+b+c)为直径画一个半圆，再以该半圆直径的一个顶点为圆心、2√(2ab)长为半径的圆弧，与该半圆交于一点，则该点距离该半圆直径的另一个顶点的距离长为√((a+b+c)²-8ab)]

(3)作长分别为x、y的线段：

在直线上分别截取长为(a+b+c)+√((a+b+c)²-8ab)]和(a+b+c)-√((a+b+c)²-8ab)]的线段，然后利用两次中垂线分别找出这两条线段的1/4长，即是长为x、y的线段。

(4)在原三角形两条边中分别截取x、y的线段，连接两个截取点的直线就是所求直线。

1、设△ABC，AB>AC，

作BC的垂直平分线，交BC于M点。则M是BC的中点，连结AM，则AM就是将△ABC面积平均分成两部分。只要任取一边中点，连该点和顶点就是平均分三角形面积为两部分。

2、延长BA，以A为圆心，AC长为半径画弧，交BA延长线于D点，用画BD垂直平分线的方法，找出BD中点N，连结NM，（其中M是BC中点），则MN把△ABC周长分成相等两部分。 

楼上的都弱爆了，楼主，这只是一道很普通的数学题，何必玄乎，让我细细道来。（几何画板画图中） 

方法很简单：做出内心，做出重心，连接。问题解决！

需要证明吗？

简述一下，该直线平分面积，该直线一定过重心，其次由于平分了面积，高相等，以故周长一定被平分（因为面积＝底×高，两份相等的底就是三角形被分成了两份相等的周长）
如图

所以，就这样做就可以了。不必考虑一元二次方程组的解

等腰（含等边）三角形那啥，就不说啦，以下仅讨论三边各不相同的情形。

设三角形ABC最短边为BC，最长边为AC；找出BC边中点E，在BC上找出一点F使AF能平分三角形三边，从A沿AC量取L（具体长度尺寸见后），从F沿FB量取L，红色连线平分三角形ABC面积和边长，见如下示意图（以上过程烦自行操作，或翻看初中平面几何教材）：

下面用尺规作图法求出线段长度L。

画线段长等于AC，截AA'等于BC/2（或等于CE、BE），以A'C为弦作任意圆，从A作该圆切线切于M；

画线段长等于FC+AC，并以其为直径作圆，作FCA平行线（间距等于切线长AM）与该圆相交，从靠近C点的一交点向FCA作垂线交之于N，则CN＝L即为所求；过程参见下图：

证明 略。

1、首先说明经过三角形内心和三角形任意一点的直线就能实现你的目的

2、划条直线，分别用分规画上a+c、a+b、b+c,再用圆规画出其中垂线，即可确定中点（即a+b+c).

3、(a+b+c)-(a+c)=b即可确定b的长，同理确定a和c

4、在三角形ABC中可确定Q1、Q2、Q3

5、再画Q1Q3和Q2Q3的中垂线，其交点就是圆形O。

6、连接AO并延长和三角形交于点P，直线AP就是最后结果。

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