近世代数理论基础10：变换群·置换群

设X是非空集合,从集合X到X的所有双射所成的集合记为 , 中的元为X上的变换,若X为有限集合,则称为置换

易证 在映射合成的意义下构成群,单位元为恒等映射 ,逆元为相应的逆映射, 的任一子群称为变换群,若X为有限集合,则称为置换群

若 ,则记 ,称为n阶对称群

若X为有限集,令 , ,若 ,其中 是 的一个排列,则可把置换 记作

故 中有 个元

设置换 满足：

1.

2. 保持其他元不变,即 ,有

则称 为循环置换,记作 ,其中r称为循环置换的长度

例：在 中,令 , , , , ,故 , , , , ,故

注：循环置换的表示不是唯一的

设 为循环置换,则

在 中, 是恒等置换,即群的单位元

设 是两个循环置换,若集合 和 的交集为空集,则称置换 和 相互独立或不相交

引理：相互独立的循环置换可交换

证明：

定理：任意置换 可唯一地表示成相互独立的循环置换的乘积

证明：

例：设 ,则

例：将 写成互不相交的循环置换的乘积

解：

定义：长为2的循环置换称为对换

定理：任一置换可表成若干个对换的乘积

证明：

若置换 可表成偶数(奇数)个对换的乘积,则称 是偶(奇)置换

注： 是偶(奇)置换 是偶(奇)排列

设 , 为对换

由映射的乘法

两个偶置换的乘积是偶置换,偶置换的逆变换仍是偶置换,故 中所有偶置换作成 的子群,称为n次交错群,记作

注：

例：

1.三次交错群 包含3个元

2.设 , ,则

证：

定义：设 , 是两个群,若 ,满足 ,则称f为G到 的一个同态映射

注：

1.设f为群G到 的同态映射,则G在 中的像为同态像

2.若f为满射,则称G与 同态,记作

3.若f为一一映射,则称f是从G到 的同构映射,称 与 同构,记作

4.群的结构由它的乘法完全确定,故同构的群本质上没有区别

5.同态映射是保持乘法的映射,即若 是同态映射指 ,有

例：

1.设 , ,定义映射f：

显然f为满射,故f是从 到 上的满同态,且不是单同态

2.设 ,乘法定义为矩阵的乘法, 为全体非零实数的集合,乘法定义为实数的乘法,定义映射f：

易证,f是满同态,且不是单同态

定理：任一群与一个变换群同构

证明：

注：定理表明,一个群无论形式如何,总可看成一个变换群

推论：任一有限群与一置换群同构