如图,正方形ACBD中,∠EAF=45°,求证EF=BE+DF

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

专题：证明题．

分析：把△ABE逆时针旋转90°得到△ADG，根据旋转的性质可得BE=GD，AE=AG，再根据∠EAF=45°求出∠FAG=45°，然后利用边角边定理证明△AEF与△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，即EF=GD+FD，即可证明EF=BE+DF．

解答：

证明：如图，把△ABE逆时针旋转90°得到△ADG，

∴BE=GD，AE=AG，

∵∠EAF=45°，

∴∠FAG=90°-45°=45°，

∴∠EAF=∠FAG，

在△AEF和△AGF中，

 AE=AG ∠EAF=∠FAG AF=AF，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF=GF，

即EF=GD+DF，

∴EF=BE+DF．

点评：本题考查了正方形四边均相等，且各内角均为直角的性质，考查了全等三角形的证明，本题把△ABE逆时针旋转90°，构建全等三角形△AEF与△AGF是解题的关键．

证明:延长CB到M,使BM=DF.则BE+DF=BE+BM=EM.
∵∠ABM=∠D=90°;AB=AD;BM=DF.
∴⊿ABM≌⊿ADF(SAS),AM=AF;∠MAB=∠FAD.
∴∠MAF=∠BAD=90°;又∠EAF=45°.
故∠EAM=∠EAF=45°;又AM=AF(已证);AE=AE.
∴⊿AEM≌⊿AEF(SAS),EF=EM=BE+DF.(等量代换)

图呢？