好吧问答库 > 设数列{an}满足a1=2 a(n+1)=an+3*2^(n-1) 令cn=log2[(an+1)⼀3] 证明 1⼀c2c3 +1⼀c3c4 ..+1⼀cnc(n+1)<1

设数列{an}满足a1=2 a(n+1)=an+3*2^(n-1) 令cn=log2[(an+1)⼀3] 证明 1⼀c2c3 +1⼀c3c4 ..+1⼀cnc(n+1)<1

n≥2...

2026年09月24日 22:46

有1个网友回答

网友（1）：

证：
a(n+1)=an+3×2^(n-1)
a(n+1)-3×2ⁿ=an-3×2^(n-1)
a1-3×2^0=2-3=-1
数列{an -3×2^(n-1)}是各项均为-1的常数数列。
an -3×2^(n-1)=-1
an=3×2^(n-1) -1
cn=log2[(an +1)/3]=log2[(3×2^(n-1) -1+1)/3]=log2[2^(n-1)]=n-1
1/c2c3+1/c3c4+...+1/cnc(n+1)
=1/(1×2)+1/(2×3)+...+1/[(n-1)n]
=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)<1-0=1
1/(c2c3)+1/(c3c4)+...+1/[cnc(n+1)]<1，不等式成立。