问一道三线共点的数学题

如图，已知G是△ABC的重心，M、N是GB、GC的中点。延长AC至E，使CE=1/2AC；又延长AB至F，使BF=1/2AB。求证：AG、ME、NF三线共点

2026年09月28日 23:10

有4个网友回答

网友（1）：

证明：
延长AG与BC交于D点，则D为BC中点
连接DF、DN、DM、DE，
G为△ABC重心，有AG/AD=2/3
BF=1/2AB，∴AB/AF=2/3
同理AC/AE=2/3=AG/AD=AB/AF
∴BG∥DF，GG∥DE
△BCG中，CN/CG=1/2=CD/CB
∴DN∥BG，同理DM∥CG
∵DN∥BG∥DF
∴DN∥DF，于是D在NF上
同理可得D在ME上
D同时在BC、NF、ME上，所以三线共点，交于BC中点

网友（2）：

设△ABC三边AB, AC, BC上的中点分别为：P, Q, D
则由题意有：BD=CD, AP=PB=BF, AQ=QC=CE; PG=GN=NC, QG=GM=MB
在△PFN中，∵PB=BF, PG=GN，∴GB∥NF
设NF与BC相交于点D'，则在△GBC中，因GN=NC，同时GB∥NF
∴有BD'=CD'，即点D'为BC的中点；
而已知BC中点为D，故点D'与D重合，∴直线NF与BC相交于中点D
同理可证，直线ME与BC相交于中点D
而已知G为△ABC的重心，故AG与BC必然相交于中点D
∴可证，AG, ME, NF三直线相交于同一点D，即三线共点

希望对你有帮助

网友（3）：

设AG与BC交于P 则P是BC中点只要证ME、AN都过P点
CN与AB交于Q BF＝1/2AB＝BQ GN＝1/2GC＝GQ ∴BG∥FN
△CGB中 CN＝GN FN∥BN ∴FN是CGB的中位线 ∴FN与BC交点是BC中点
同理ME与BC交点也是BC中点 ∴AG、ME、NF三线共点

网友（4）：

好题容我三思