abc是不全为0的非负实数,Y=(ab+2bc)⼀(a2+b2+c2)的最大值

由Y=(ab+2bc)/(a^2+b^2+c^2)得
Y(a^2+b^2+c^2)-(ab+2bc)=0
当b=0时，Y=0.
当b≠0时，则关于b的方程
Yb^2-(a+2c)b+Y(a^2+c^2)=0有实数根
有（a+2c）^2-4Y^2*(a^2+c^2)≥0。此时若a^2+c^2=0，易得Y=0。若a^2+c^2≠0，则
4Y^2≤[(a+2c)^2]/[(a^2+c^2)]
令t=[(a+2c)^2]/[(a^2+c^2)]
得(a+2c)^2-t(a^2+c^2)=0。若t=4，则Y最大=1.若t≠4，则关于c的方程
(4-t)c^2+4ac+(1-t)a^2=0有实数根
要求 (4a)^2-4(4-t)(1-t)a^2≥0
即[16-4(t^2-5t+4)]a^2≥0
t(t-5)≤0
当t去最大值5时，4Y^2取得最大值5，此时Y可取最大值sqrt(5)/2.
与你给出的答案相符。
你给的算法，其实可以用待定系数法来获得答案。就是说要把分子整理成和分母同形式的多项式，对任意m
设2(ab+2bc)=2(ma*1/m *b+2/m*b*m*c)
≤m^2*a^2+(1/m)^2*b^2+(2/m)^b^2+m^2*c^2
欲使a^2、b^2、c^2系数相等，可使m^2=(1/m)^2+(2/m)^2=5/(m^2)即m^4=5。此时m^2*a^2+(1/m)^2*b^2+(2/m)^b^2+m^2*c^2=sqrt(5)*(a^2+b^2+c^2)
即2(ab+2bc)≥sqrt(5)*(a^2+b^2+c^2)
得出Y≥sqrt(5)/2的答案。
提问中给的过程，事实上是由m^4=5先解出m值，再求出具体系数，然后按照多项式变形给出的步骤。这样答题没有问题，但是想思路的时候肯定是先求解m值的。

等号成立条件略了