怎样过三角形的一边的一点平分三角形面积的做法及证明

如图所示：E为三边中任意一边上的点。

以E点位于AB边上为例：

1.连结CE

2.取AB边中点D，

3.过D作DF//CE交BC于F。则EF所在的直线为所求直线

为什么通过此种方法得到的的直线能够将此三角形面积平分呢？现给出证明方法：

如图所示：连结CD,EF,交于点P。

        ∵点D是AB的中点

        ∴AD=BD     ∴S△CAD=S△CBD

        ∴S四边形CAEP＋S△PED=S四边形DPFB＋S△PCF

        又∵DF‖CE   ∴S△FED=S△DCF（同底等高）

        即：S△PED=S△PCF

        ∴S四边形CAEP=S四边形DPFB

        ∴S四边形CAEP＋SPCF=S四边形DPFB＋S△PED

        即S四边形AEFC=S△EBF

如图，M是△ABC 一条边AB上一点，CD是AB的中线。

连接CM，作DP//CM，那么MP平分△ABC的面积。

因为 CD是一条中线，所以CD平分三角形面积

因为 四边形CMDP是梯形，对角线CD，MP交于O

所以 S△DOM=S△COP

所以 MP平分△ABC的面积

连接三角形任一顶点与其对边的中点，此连线即为中点所在边的中线。
中线两边的三角形面积相等。
证明成立的中心，直线外任一点，到直线的垂直距离相等。