用赋值法求函数解析式

如题：已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,且f(1)=1，若x䰱N+，试求f(x)的表达式。不太能理解赋值法，请把这道题做得详细点一点，谢谢~鞠躬~

2026年09月25日 14:55

有2个网友回答

网友（1）：

令y=1
f(x+1)=f(x)+2x+4
所以
f(2)=f(1)+2×1+4
f(3)=f(2)+2×2+4
f(4)=f(3)+2×3+4
依此规律：
f(x)=f(x-1)+2(x-1)+4
左边相加=右边相加
所以f(x)=x²+3x-3 （x∈N+）

网友（2）：

给x赋值为（1/x），得到式子f（1/x）+2f（x）=3/x,与题目中的式子一加，化简得到f（x）=
2/x
-x