a,b,c均为正确数a^2+b^2+c^2+(1⼀a+1⼀b+1⼀c)^2的最小值

[[[1]]]
三元均值不等式:
x+y+z≥3[(xyz)^(1/3)]
等号仅当x=y=z时取得.
[[[[[解]]]]
由三元均值不等式可得:
[1]
a²+b²+c²≥3[(abc)^(2/3)].
等号仅当a=b=c时取得
[2]
∵(1/a)+(1/b)+(1/c)≥3/[(abc)^(1/3)]
∴两边平方,可得:
[(1/a)+(1/b)+(1/c)]²≥9/[(abc)^(2/3)]
等号仅当a=b=c时取得
[3]
再由二元基本不等式a+b≥2√(ab),可得
3[(abc)^(2/3)]+{9/[(abc)^(2/3)]}≥2√27=6√3
等号仅当abc=3^(3/4)时取得.
[4]
由上面可知,上面的两个式子相加,可得
a²+b²+c²+[(1/a)+(1/b)+(1/c)]²≥3[(abc)^(2/3)]+{9/[(abc)^(2/3)]}≥6√3
等号仅当a=b=c,且abc=3^(3/4)时,即a=b=c=3^(1/4)时取得.
∴原式的最小值为6√3

解：a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2
当且仅当 a=b=c时有最小值
3a^2+9/a^2≥2√(3a^2x9/a^2)=6√3
当且仅当 3a^2=9/a^2即 a=3^(1/4)时有最小值6√3

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