为什么微分方程可以用函数级数表示呢？

因为根据泰勒展开的理论，任意阶可导函数都可以展开成泰勒多项式
设y=∑(n=0->∞)an*x^n
dy/dx=∑(n=1->∞)an*n*x^(n-1)
(a-x)dy/dx=∑(n=1->∞)a*an*n*x^(n-1)-∑(n=1->∞)an*n*x^n
=∑(n=0->∞)a*a(n+1)*(n+1)*x^n-∑(n=0->∞)an*n*x^n
=∑(n=0->∞)[a*a(n+1)*(n+1)-an*n]*x^n
y-(a-x)dy/dx=∑(n=0->∞)an*x^n-∑(n=0->∞)[a*a(n+1)*(n+1)-an*n]*x^n
=∑(n=0->∞)[an-a*a(n+1)*(n+1)+an*n]*x^n
=∑(n=0->∞)(n+1)*[an-a*a(n+1)]*x^n
根据题意，y-(a-x)dy/dx=x-a
∑(n=0->∞)(n+1)*[an-a*a(n+1)]*x^n=x-a
n=0时，a0-a*a1=-a，a1=a0/a+1
n=1时，2*(a1-a*a2)=1，a2=a1/a-1/2a=a0/a^2+1/2a
n>=2时，(n+1)*[an-a*a(n+1)]=0，a(n+1)=an/a，an=a2/a^(n-2)=a0/a^n+1/2a^(n-1)
所以，y=a0+(a0/a+1)*x+∑(n=2->∞)[a0/a^n+1/2a^(n-1)]*x^n，其中a0是任意常数