好吧问答库 > 若对于正整数k、g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（20）=5，并且g（2m）=g（m）（m∈N*），设

若对于正整数k、g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（20）=5，并且g（2m）=g（m）（m∈N*），设

若对于正整数k、g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（20）=5，并且g（2m）=g（m）（m∈N*），设Sn＝g(1)+g(2)+g(3)+…g(2n)（Ⅰ）求S1、S2、S3；（Ⅱ）求Sn；（III）设bn＝1Sn?1，求证数列{bn}的前n顶和Tn＜32．

2026年09月24日 04:48

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网友（1）：

（Ⅰ）S₁=g（1）+g（2）=1+1=2（1分）
S₂=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6（2分）
S₃=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7）+g（8）
=1+1+3+1+5+3+7+1=22…（3分）
（Ⅱ）∵g（2m）=g（m），n∈N₊…（4分）
∴Sn＝g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n?1)+g(2n)
=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]
=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2?2^n-1）]…（5分）
=

(1+2n?1)?2n?1

+[g(1)+g(2)+…g(2n?1)]…（6分）
=4^n-1+S_n-1…（7分）
则Sn?Sn?1＝4n?1，
∴S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁…（8分）
=4^n-1+4^n-2+…+4²+4+2
=

4(4n?1?1)

4?1

+2＝

?4n+

…（9分）
（Ⅲ）bn＝

Sn?1

＝

4n?1

＝

(2n)2?1

＝

(2n?1)(2n+1)

＝

(

2n?1

2n+1

)，…（10分）Tn＝

(

21?1

2+1

(

22?1

22+1

(

23?1

23+1

)+…+

(

2n?1

2n+1