A^3=2E,B=A^2-2A+2E,证明B可逆，并求B^-1

2026年09月21日 00:59

有3个网友回答

网友（1）：

思路：猜测B的逆也是A的多项式，由于A^3=2E，故超过3次的幂都能用A
A^2表示，因此可设B^(-1)＝aA^2+bA+cE，利用BB^(-1)=E和A^3=2E
A^4=2A，乘开合并同类项，并令A
A^2前面的系数为0，E前面的系数是1，最后得到等式B(A^2+3A+4E)=10E，因此B可逆，B的逆是（A^2+3A+4E）/10

网友（2）：

简单计算一下即可，答案如图所示

网友（3）：

设f(x)
=
x²+2x-2,
g(x)
=
x³-2.
先求多项式u(x),
v(x)使u(x)f(x)+v(x)g(x)
=
1.
带余除法g(x)
=
(x-2)f(x)+6(x-1),
f(x)
=
(x+3)(x-1)+1.
有6
=
6f(x)-(x+3)(g(x)-(x-2)f(x))
=
(x²+x)f(x)-(x+3)g(x).
于是(x²+x)/6·f(x)-(x+3)/6·g(x)
=
1.
将x
=
a代入上式,
由f(a)
=
b,
g(a)
=
0,
即得(a²+a)/6·b
=
e.
因此b可逆,
且b^(-1)
=
(a²+a)/6.