如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试应用向量证明它是平行四边形

证明：已知四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，且AO=OC，BO=OD。

那么向量BC=向量BO+向量OC，向量AD=向量AO+向量OD。

又因为AO=OC，BO=OD，且AO与OC共线，BO与OD共线，

那么向量BO=向量OD，向量AO=向量OC。

则向量BC=向量BO+向量OC=向量OD+向量AO=向量AD，

所以向量BC∥向量AD，即BC平行AD。

同理可得到AB平行DC。

即可证明四边形ABCD为平行四边形。

扩展资料：

1、向量的运算

对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c(x3,y3)则向量的运算法则如下。

（1）数量积

对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a，b之间的夹角为A，那么

a·b=b·a、(λa)·b=λ(a·b)、（a+b)·c=a·c+b·c。

a·b=|a|·|b|·cosA，

（2）向量的加法

a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)

（3）向量的减法

a+(-b)=a-b

2、平行四边形性质

（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

参考资料来源：百度百科-向量

参考资料来源：百度百科-平行四边形

在四边形ABCD中，设AC,BD的交点为O,向量AB=向量a，向量AD=向量b
因为O是AC中点所以 向量AO=(1/2)*向量AC=(1/2)*(向量a+向量BC)
即向量AO=(1/2)*(向量a+向量BC)
因为O是BD中点所以 向量BO=(1/2)*向量BD=(1/2)*(-向量a+向量b)
向量OB=(1/2)*(向量b-向量a)
向量a=向量AB=向量a=向量AO+向量OB=(1/2)*(向量a+向量BC+(1/2)*(向量a-向量b)
即 向量a =向量a+(1/2)*(向量BC-向量B)
所以 向量BC-向量B=向量0 也就是向量BC=向量B=向量AC
所以四边形ABCD是平行四边形。

设平面上一个四边形ABCD的对角线互相平分交于O,以下均为向量运算：
AO=OC,BO=OD
AO+OD=AD,BO+OC=BC,>>>AD=BC
BA+AO=BO,OC+CD=OD,>>>BA=CD
因此四边形ABCD是平行四边形

见图