求由以下曲面所围成的几何体的体积：x=0 ,y=0,z=o,z=6-2x-3y
解一：如图，这是一个直角锥体的体积，V=(1/3)[(1/2)×3×2×6]=6
解二：令6-2x-3y=0得平面z=6-2x-3y 与xoy平面的交线AB的方程为y=(1/3)(6-2x)=2-(2/3)x
故积分域D：由x=0，y=0及直线y=2-(2/3)x所围成的三角形。
∴体积V=[D]∫∫zdxdy=[0，3]∫dx[0，2-2x/3]∫(6-2x-3y)dy
=[0，3]∫dx[(6-2x)y-(3/2)y²]︱[0，2-2x/3]=[0，3]∫[(6-2x)(2-2x/3)-(3/2)(2-2x/3)²]dx
=[0，3]∫[(2/3)x²-4x+6]dx=[2x³/9-2x²+6x]︱[0，3]=6-18+18=6
用二重积分的几何意义是曲顶柱体的体积去考虑
V=∫【0，3】dx∫【0，(6-2x)/3】（6-2x-3y）dy
=∫【0，3】[(6-2x)²/3-(6-2x)²/6]dx
=∫【0，3】(6-2x)²/6dx
=2/3∫【0,3】x²dx=6
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