好吧问答库 > 已知数列an满足an=1+2+...+n,且1⼀a1+1⼀a2+...+1⼀an<m对任意正整数n恒成立，则实数m的取值范围为？

已知数列an满足an=1+2+...+n,且1⼀a1+1⼀a2+...+1⼀an<m对任意正整数n恒成立，则实数m的取值范围为？

2026年09月24日 17:04

有2个网友回答

网友（1）：

an=1＋2＋3＋…＋n=[n(n＋1)]/2
则：
1/(an)=2/[n(n＋1)]=2[(1/n)－1/(n＋1)]，所以：
M=1/(a1)＋1/(a2)＋1/(a3)＋…＋1/(an)
=2[1/1－1/2]＋2[1/2－1/3]＋2[1/3－1/4]＋…＋2[(1/n)－1/(n＋1)]
=2[1－1/(n＋1)]
要使得Mm>M的最大值，而：
M=2[1－1/(n＋1)]，其最大值是2【取不到2的】
则：m≥2

网友（2）：

m>=2
an=1+2+...+n=n(n+1)/2
1/an=2/(n+1)n=2[1/n-1/(n+1)]
1/a1+1/a2+...+1/an=2[1-1/(n+1)]<2
所以实数大于等于2均可