一致连续函数一定连续吗？求证明

如果函数f(x)在I上一致连续，自然在I上也是连续的；证明如下：

设函数f(x)在I上一致连续，那么对于I上任意一点t，即t∈I。

f(x)是一致连续的，对任取的e>0，存在d>0，当I上任意两点a和b满足|a-b|

对I上的点x和y，当满足 |x-t|

有 |f(x)-f(t)|=|f(x)-f(y)+f(y)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)| 。

由于f一致连续，|x-y|

|f(x)-f(y)|

则 |f(x)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|<2e。

也就是对任取的e>0，存在d'=d/2，当|x-t|

即f(x)在点t连续；由于点t是在I上任意选取一点，f(x)在I上连续。

所以一致连续函数一定连续。

相关内容解释：

函数在数学上的定义：给定一个非空的数集A，对A施加对应法则f，记作f（A），得到另一数集B，也就是B=f（A），那么这个关系式就叫函数关系式，简称函数。

简单来讲，对于两个变量x和y，如果每给定x的一个值，y都有唯一一个确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数。其中，x叫做自变量，y叫做因变量。

一致连续函数一定连续。

如果函数f(x)在I上一致连续，自然在I上也是连续的；证明如下：

设函数f(x)在I上一致连续，那么对于I上任意一点t，即t∈I；

f(x)是一致连续的，对任取的e>0，存在d>0，当I上任意两点a和b满足|a-b|

有 |f(a)-f(b)|

对I上的点x和y，当满足 |x-t|

有 |f(x)-f(t)|=|f(x)-f(y)+f(y)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)| ；

由于f一致连续，|x-y|

|f(x)-f(y)|

则 |f(x)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|<2e；

也就是对任取的e>0，存在d'=d/2，当|x-t|

即f(x)在点t连续；由于点t是在I上任意选取一点，f(x)在I上连续。

所以一致连续函数一定连续。

法则

定理一 在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。

定理二 连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。

定理三 连续函数的复合函数是连续的。

这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。

如果函数f(x)在I上一致连续，自然在I上也是连续的；证明如下：
设函数f(x)在I上一致连续，那么对于I上任意一点t，即t∈I；
f(x)是一致连续的，对任取的e>0，存在d>0，当I上任意两点a和b满足|a-b|有 |f(a)-f(b)|对I上的点x和y，当满足 |x-t|有 |f(x)-f(t)|=|f(x)-f(y)+f(y)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)| ；
由于f一致连续，|x-y||f(x)-f(y)|则 |f(x)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|<2e；
也就是对任取的e>0，存在d'=d/2，当|x-t|即f(x)在点t连续；由于点t是在I上任意选取一点，f(x)在I上连续。
所以一致连续函数一定连续。