求由方程xy+lny=1所确定的隐函数在x=1处的导数y’（1）

2026年09月21日 00:46

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网友（1）：

xy+lny=1，y>0,①
两边求导得y+xy'+y'/y=0,
整理得(x+1/y)y'=-y,
所以y'=-y^2/(xy+1).
由①，x=1时y+lny=1,
上式左边是y的增函数，所以上式有唯一解：y=1.
于是y'(1)=-1/2.

网友（2）：

xy+lny = 1， x = 1 时，y+lny = 1，得 y =1。
xy+lny = 1 两边分别对 x 求导，得 y+xy' + y'/y = 0,
x = 1, y = 1 代入得 1+2y'(1) = 0, y'(1) = -1/2

网友（3）：

xy+lny=1
两边求导得
y+xy′+y′/y=0
y²+xyy′+y′=0
y′=－y²/(xy+1)
x=1时，y+lny=1
由于y+lny在(0，+∞)单调递增，所以y=1
y′(1)=－1/2

网友（4）：

xy+lny = 1， x = 1 时，y+lny = 1，得 y =1。
xy+lny = 1 两边分别对 x 求导，得 y+xy' + y'/y = 0,
x = 1, y = 1 代入得 1+2y'(1) = 0, y'(1) = -1/2。