设cosα+cosβ=y （1）
sinα+sinβ=1 （2）
(1)²+(2)²，得
2+2cosαcosβ+ 2sinαsinβ=y²+1
即2cos(α-β)=y²-1
由于cos(α-β)≤1， （ 当α=β，即sinα=sinβ=1/2时，cos(α-β)=1 )
所以 y²-1=2cos(α-β)≤2， y²≤3，
从而 -√3≤y≤√3
即 cosα+cosβ的最大值为√3，最小值为-√3。
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