求级数的和函数

求级数的和函数第五题第一问...

2026年09月23日 03:11

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网友（1）：

考虑幂级数∑(-1)^(n-1)x^(2n)/(n(2n-1))，收敛区间是(-1,1)。
设和函数是S(x)，逐项求导二次，得S'(x)=2∑(-1)^(n-1)x^(2n-1)/(2n-1)，S''(x)=2∑(-1)^(n-1)x^(2n-2)＝2∑(-x²)^(n-1)＝2/(1+x²)。
积分得，S'(x)=2arctanx，S(x)=2xarctanx-ln(1+x²)。
带入x＝1/√3，原常数项级数之和是2√3arctan√3-2ln2。