好吧问答库 > 函数f(x)=1⼀2（a^x+a^-x）（a＞0，a≠1）的图像经过点（2，41⼀9）

函数f(x)=1⼀2（a^x+a^-x）（a＞0，a≠1）的图像经过点（2，41⼀9）

（1）求函数解析式（2）若函数f(x)值域【1，5/3】,试确定x的取值范围（第一问会了主要是第二问、）

2026年09月20日 20:50

有2个网友回答

网友（1）：

⑴∵f(x)=1/2（a^x+a^-x）过点（2，41/9）
∴41/9=1/2（a²+a-²﹚
9a^4-82a²＋9＝0
∴﹙a²－9﹚﹙9a²－1﹚＝0
∴a²＝9 或a²＝1／9
a＝3或a=1／3﹙∵a＞0﹚
∴f(x)=1/2（3^x+3^-x）
⑵∵1≤f(x)≤5／3
∴1≤1/2（3^x+3^-x）≤5／3
2≤3^x+3^-x≤10／3
而2≤3^x+3^-x对一切x都成立﹙利用重要不等式x＋y≥2√xy﹚
由3^x+3^-x≤10／3得
3×﹙3^x﹚²-10﹙3^x﹚＋3≤0
∴﹙3^x-3﹚﹙3×3^x-1﹚≤0
1／3≤3^x≤3
∴-1≤x≤1
综上-1≤x≤1

网友（2）：

1）代入数据得到方程，41/9=1/2（a^2+a^-2）可解得a=±3，因为a>0，所以a=3
2）由题意，得到不等式1≤1/2（3^x+3^-x）≤5/3，由重要不等式可知，3^x+3^-x≥2，当3^x=3^-x，即x=0时3^x+3^-x=2，不等式左边定义域恒成立，解不等式右端（解的要领：3+1/3=10/3)，得-1≤x≤1

综上，-1≤x≤1写成集合形式