离散数学题，举例说明不要求可除条件而要求消去条件，即要求由ax=ay可推出x=y，由xa=ya可推出x=y，则G不

对于有限的G,如果已经是一个幺半群的话,那么它一定是群.任取一个x∈G,假设G不是群,那么x^n一定不等于单位元e,对任意的n都成立.于是,由于G有限,{x^n}这个看起来无限的集合也必须有限,那么必须存在y∈G,使得x^m=x^(m+n)=y（一定会有重复）,于是x^m*e=x^m*x^n,则x^n=e,于是x的逆就可以定义为x^(n-1)∈G了.

证明：分为有限和无限两种情况讨论
①如果G是无限的半群。
不妨设G是全体正整数的普通乘法群。则G满足消去律，但除正整数1以外，其他元素不存在逆元，故G不是群。
②如果G是有限的半群。
设有一个半群G，G={a1，a2，a3，……，an}，因为G是一个非空集合，所以G中的各元素各不相同。
取G中的任意一个元素a，用a右乘G中的各元素，得到了一个序列[a1·a，a2·a，a3·a，……，an·a]。
注意这里得到的是一个序列，我用[]表示。而G的表示方法是一个集合，用{}表示。
序列的元素有可能会重复，现在证明这个序列中各元素都不相同。
假设这个序列中存在ai和aj，使得ai·a = aj·a（i≠j）。
由题干的消去条件可得ai = aj。但是ai和aj是从G中取得的，G中各元素各不相同，出现矛盾！
所以这个序列中各元素也各不相同，因此这个序列也可以写成集合的形式：G'={a1·a，a2·a，a3·a，……，an·a}。
由半群运算的封闭性，很容易看出来G = G'。
对于任意的b∈G，必有ai，使得ai·a=b，因此方程xa=b有解。同理可知ay=b有解，因此我们由消去条件证明出了可除条件。而满足可除条件的半群一定是群。所以G是群。