求微分方程x2y〞=2lnx的通解.

解法一：设t=lnx，则xy'=dy/dt，x²y''=dy²/dt²-dy/dt
代入原方程得dy²/dt²-dy/dt=2t........(1)
∵齐次方程dy²/dt²-dy/dt=0的特征方程是r²-r=0，则r1=1，r2=0
∴齐次方程dy²/dt²-dy/dt=0的通解是y=C1e^t+C2 (C1,C2是积分常数)
设微分方程(1)的解为y=At²+Bt
∵y'=2At+B，y''=2A。
代入方程(1)得2A-2At-B=2t
==>A=-1，B=-2
∴微分方程(1)的通解是y=C1e^t+C2-t²-2t (C1,C2是积分常数)
故原微分方程的通解是y=C1x+C2-(lnx)²-2lnx (C1,C2是积分常数)。
解法二：∵x²y''=2lnx
==>y''=2lnx/x²
==>y'=∫2lnxdx/x²=-2∫lnxd(1/x)=-2lnx/x+2∫dx/x²=C1-2lnx/x-2/x (C1是积分常数)
∴y=∫(C1-2lnx/x-2/x)dx=C1x-2∫(lnx-1)d(lnx)=C1x+C2-(lnx)²-2lnx (C1是积分常数)
故原微分方程的通解是y=C1x+C2-(lnx)²-2lnx (C1,C2是积分常数)。

x2y〞=2lnx
y''=2lnx/x^2
dy'=2lnx/x^2dx
y'=∫2lnx/x^2dx=-∫2lnxd(1/x)=-2lnx/x+∫2/x^2dx=-2lnx/x-2/x+C1
两端再积分得
y=∫(-2lnx/x-2/x+C1)dx
=-2lnlnx-2lnx+C1x+C