好吧问答库 > 已知a,b为关于x方程x^2-(k-2)x+k^2+3k+5=0的两个实数根（其中k为实数），求a^2+b^2的最大值和最小值？谢谢

已知a,b为关于x方程x^2-(k-2)x+k^2+3k+5=0的两个实数根（其中k为实数），求a^2+b^2的最大值和最小值？谢谢

2026年09月29日 01:46

有2个网友回答

网友（1）：

有两不等实根，先由判别式定k的取值范围：由韦达定理： (k-2)^2-4(k^2+3k+5)>0 整理，得： 3k^2+16k+16>0 (k+8/3)^2>16/9 解得： k>-4/3或k<-4 a^2+b^2=(a+b)^2-2ab =(k-2)^2-2(k^2+3k+5) =-(k^2+10k+6) =-(k+5)^2+19 当k=-5时，a^2+b^2有最大值19. 很不错哦，你可以试下
mС妲l

网友（2）：

根据韦达定理，
a+b=(k-2)
ab=k²+3k+5
因为，a²+b²=(a+b)²-2ab=(k-2)²-2(k²+3k+5)=-k²-10k-6=-(k+5)²+19
∵K∈R
∴(k+5)²≥0
∴-(k+5)²≤0
∴-(k+5)²+19≤19
∴a²+b²≤19
∴其最大值为19
又因为a+b)²≥0
∴a²+b²-2ab≥0===》a²+b²≥2ab
由∵2ab=2(k²+3k)+10=2(k+3/2)²+11/2
∵K∈R
∴(k+3/2)²≥0
∴2ab≥11/2
∴a²+b²≥11/2

综上，a²+b²的最小值为11/2，最大值为19