两数和的平方

我一直用这个办法心算的：

因为(a + b) * (a - b) = a^{2} - b^{2}

所以 a^{2} = (a + b) * (a - b) + b^{2}

比方说算43的平方，那就等于算 (43 + 3) * (43 - 3) + 3^{2} ， 3是自己选的，原则是把其中一个数凑成整10， 这样心算46 * 40 = 1840， 加上3的平方9即可得到1849和平方
本文介绍的是乘法公式。关于完美正方形，详见“完美正方形”。 本文介绍的是乘法公式。关于完全平方，详见“完全平方”。 和平方是数学公式的一种，它属于乘法公式及因式分解，现时经常使用。和平方是指两个数目的总和的平方，又即是相乘，得来的公式是：

中文名
和平方

释义
数学公式的一种验证
基本验证
和平方可直接利用因式分解验证。公式如下：

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

简单验证
和平方亦可以表格形式验证：

( a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
x) a + b
a a2 + ab
+ b + ab + b2
几何验证
和平方可透过图表来验证。右图中，是一个(a + b)2的正方形。可在右图中分割为四部分：

a2

ab

ab

b2

将四部分加在一起：

a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

三数和平方
三数和平方，指三个（或可多个）数目的总和的平方，得来的公式是：

验证
验证方法与两数和平方差不多，可透过多项式乘法验证：

(a + b + c)2 = (a + b + c)(a + b + c) = a(a + b + c) + b(a + b + c) + c(a + b + c) = a2 + ab + ac + ac + b2 + bc + ac + bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

透过几何验证也同样，根据右图将所有部分加在一起：

a2 + b2 + c2 + ab + ab + bc + bc + ac + ac = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac这个速算技巧需要使用者具备两个计算基础：

能够口算三位数加三位数；
能够口算一位数乘两位数。

然后就可以学习这个技巧了。

1.个位为1,2,3

公式：(10a+b)^{2}=(10a+b+b)(10a+b-b)+b^{2}=10a(10a+2b)+b^{2}

例:52^{2}=(52+2)(52-2)+4=2700+4=2704
71^{2}=(71-1)(71+1)+1=5040+1=5041

原因：3的平方为9，小于10，所以很方便口算，因为前边的平方差公式得到的结果是10的倍数，所以互不影响。

2.个位为7,8,9

公式：(10a-b)^{2}=(10a-b+b)(10a-b-b)+b^{2}=10a(10a-2b)+b^{2}

例：58^{2}=(58-2)(58+2)+4=3360+4=3364
79^{2}=(79+1)(79-1)+1=6240+1=6241

原因同上。

3.个位为5.

这个简单，就是去掉个位的数如果为a，那么前边就是a\times (a+1),后边连上25.

例：65^{2}=6\times (6+1)\times 100+25=4225

4.个位为4,6

这个最麻烦，公式为：

(10a+5+b)^2=(10a+5)^{2}+2b(10a+5)+b^2

不太明显是吧？举个例子吧。

46^{2}=45^{2}+2\times 45+1=2025+90+1=2116
74^{2}=75^{2}-2\times 75+1=5625-150+1=5476

这样规律就出来了。

个位一定是6，不用管了；
个位为5的平方可以口算，忽略个位并记住；
个位为5的两位数和2相乘可以口算，忽略个位并记住；
根据情况计算2和3中结果的和或差，后边连上6即可。

这个方法并不一定能保证速度，但是好处在于学会之后，可以在没有草稿纸的时候使用。由于我经常忘带草稿纸，所以总结了这种方法。

两数和的平方等于这两数的平方和再加上这两数的积的两倍。
用字母表示为：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。