已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

2026年09月28日 21:06

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网友（1）：

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意

∴b=1，
∴所求椭圆方程为

．
（Ⅱ）设A（x₁ ，y₁ ），B（x₂ ，y₂ ）．
（1）当AB⊥x轴时，

．
（2）当AB与x轴不垂直时，
设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知

，得

．
把y=kx+m代入椭圆方程，
整理得（3k² +1）x² +6kmx+3m² ﹣3=0，
∴

，

．
∴|AB|² =（1+k² ）（x₂ ﹣x₁ ）² =

．
当且仅当

，即

时等号成立．
当k=0时，

，|AB|_max =2．
∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值

．

已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 ．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）