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已知向量a和向量b是两个非零向量，当a+tb(t∈R）的的模取最小值时（1)求t的值（2）已知a b同向共线时，求证b 与a+tb垂直

2026年09月25日 14:54

有3个网友回答

网友（1）：

当|a+tb|取最小值时，即|a+tb|²取最小值
|a+tb|²
=(a+tb)²
=a²+2tab+t²b²
=b²t²+2abt+a²
将当看作关于t的二次函数
因为b²>0
所以当t=-2ab/(2b²)=-ab/b²时，|a+tb|取最小值（注意，a,b是向量，不能约分）

b*(a+tb)
=ba+b*tb
=ab+tb²
=ab+(-ab/b²)b²
=ab-ab
=0
所以b垂直于(a+tb)

网友（2）：

b*(a+tb)
=ba+b*tb
=ab+tb²
=ab+(-ab/b²)b²
=ab-ab
=0
所以b垂直于(a+tb)

网友（3）：

设a,b的起点为O，因 (a+tb)-(a+mb)=(t-m)b，所以向量(a+tb)与(a+mb)的终点连线平行于向量b。故向量(a+tb)的模的最小值为向量a的终点到向量b所在直线的距离。即为 |a|sin。第二问结论错误！a.b同向共线时，b与a+tb共线。