急求:f(x)=(1+1⼀x)^(1+x)(x>0)的单调性.

2026年09月24日 17:27

有2个网友回答

网友（1）：

lnf(x)=(1+x)ln(1+1/x)
f'/f=ln(1+1/x)-1/x
y=ln(1+t)-t, t=1/x>0
y'=1/(1+t)-1=-t/(1+t)<0
y为减函数，y(0)=0为y的最大值。
所以f'<0
f(x)为单调减函数。

网友（2）：

首先我们判断这是一个幂指函数，一般都是两边取对数来求导数的
lnf(x)=(1+x)ln(1+1/x)=(1+x)ln[(1+x)/x]
=(1+x)ln(1+x)-(1+x)x
两边同时求导，得到
f'(x)/f(x)=ln(1+x)+1-1-2x=ln(1+x)-2x
f'(x)=f(x)[ln(1+x)-2x]
由于f(x)>0
所以接下来我们需要判断ln(1+x)-2x在x>0上的正负值了
我们假设
g(x)=ln(1+x)-2x
那么
g'(x)=[1/(1+x)]-2=(-1-2x)/(1+x)<0所以，g(x)为x>0上的减函数
所以
g(x)最大值=g(0)=0
所以g(x)<0
因此f'(x)<0
所以f（x）为x>0上的单调减函数