好吧问答库 > 已知向量a=(cosα,sinα) b=(cosβ,sinβ)且a ，b满足│ka+b│=根号3│a-kb│(k＞0)

已知向量a=(cosα,sinα) b=(cosβ,sinβ)且a ，b满足│ka+b│=根号3│a-kb│(k＞0)

（1）求证(a+b)⊥(a-b)（2）若a与b的数量积表示关于k的函数f(k),求f(k)

2026年09月28日 04:09

有1个网友回答

网友（1）：

由已知|a|=1,|b|=1,
所以(a+b)•(a-b)=a^2-b^2=0,
所以向量a+b与向量a-b垂直。

由|ka+b|=根号3|a-kb|平方得到：k^2a^2+2kab+b^2=3(a^2-2kab+k^2b^2),
又|a|=1,|b|=1,
代入上式得到：k^2+2ka.b+1=3(1-2kab+k^2)，即8ka.b=2+2k^2,
即f(k)=a.b=(2+2k^2)/8k=(k^2+1)/4k。