好吧问答库 > 用归纳法证明不等式1⼀2*3⼀4*...*[（2n-1）⼀2n]＜1⼀[根号（2n+1）]

用归纳法证明不等式1⼀23⼀4...*[（2n-1）⼀2n]＜1⼀[根号（2n+1）]

2026年09月24日 17:56

有1个网友回答

网友（1）：

n=1，显然成立，略

假设n=k有1/2*3/4*...*[(2k-1)/2k]＜1/√(2k+1)
则n=k+1
1/2*3/4*...*[(2k-1)/2k]*[(2k+1)/(2k+2)]<1/√(2k+1)*[(2k+1)/(2k+2)]=√(2k+1)/(2k+2)

因为(2k+1)(2k+3)<(2k+2)^2
所以√[(2k+1)(2k+3)]<2k+2
所以√(2k+1)/(2k+2)<1/√(2k+3)
所以1/2*3/4*...*[(2k-1)/2k]*[(2k+1)/(2k+2)]<1/√(2k+3)=1/√[2(k+1)+1]
综上，元不等式成立