一个关于代数余子式问题的证明（第10题）

行列式从第1列起，到第n-2列，
每1列都加上其后面的各列（但不含最后1列），得到
a₁₁-a₁n
a₁₂-a₁n
⋯
1
a₂₁-a₂n
a₂₂-a₂n
⋯
1
⋮
⋮
an₁-ann
an₂-ann
⋯
1
①
然后按最后1列展开，即n-1阶子行列式（余子式）乘以相应系数±1（变成代数余子式），然后求和。
其中n-1阶子行列式是这样的类似形式（以右上角的1，相应的余子式为例）：
a₂₁-a₂n
a₂₂-a₂n
⋯
a₂,n₋₁-a₂n
⋮
⋮
an₁-ann
an₂-ann
⋯an,n₋₁-ann
而这种行列式与下面行列式
1
1
⋯
1
1
a₂₁-a₂n
a₂₂-a₂n
⋯
a₂,n₋₁-a₂n
0
⋮
⋮
an₁-ann
an₂-ann
⋯an,n₋₁-ann
0
的值，是±1的倍数关系（该倍数就正好是上述代数余子式的系数）。
接下来，我们看上述行列式，值怎么求。
显然，第2行开始，每一行都分别加上第1行的若干倍（第k行，就加上第1行的akn倍）
得到
1
1
⋯
1
1
a₂₁
a₂₂
⋯
a₂,n₋₁
a₂n
⋮
⋮
an₁
an₂
⋯an,n₋₁
ann
而这个行列式，按第1行展开，显然就是原来n阶行列式第1行元素的代数余子式之和。
类似地，可以得到，行列式①的其余代数余子式，
都是原来n阶行列式第k行元素的代数余子式之和。
因而所求行列式，就等于原来n阶行列式所有元素的代数余子式之和，命题得证。