升降算符主要是针对量子本征态的变化而言的，目的是使得本征态+1或者-1. 要了解这个需要对系统有个能量表述，或者说哈密顿量。
从图片上的公式看起来，这个应该可以套用简谐振子模型，其中p和q分别代表（广义）动量和坐标，哈密顿量h = p^2/2/m + mw^2q^2/2. 具体参数可能相差常数，但是形式不会变化。
只有按照这个表述，哈密顿量才能写成 h = hw(a^+ a + 1/2) 的形式，这个你可以吧a^+ 和a算符的表达式带入看看，应该和上面谐振子的形式一致。这就是a^+ 和a两个算符表达的根本原因。而升降算符a^+ 和a 作用在能量本征态|n>上面会使得能量本征态+1或者-1，对应能量+1或者-1。以后一旦碰到这两个算符就意味着系统状态或者能量状态会发生变化。
具体请参考《量子力学》中简谐振子的表述。这个是量子能量体系的最基本表达，以后很多体系可以套用这个来简化和解释。
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