三垂线定理及其逆定理

2026年09月25日 14:29
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具体内容如下:

三垂线定理指的是平面内的一条直线,如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理是立体几何的重要定理之一,平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也就和这条斜线垂直,三垂线定理通过平面斜线的射影与平面内一直线的垂直关系来判定斜线与平面内一条直线垂直。

由于定理中涉及三条与平面内已知直线有垂直关系的直线,故称为三垂线定理。

逆定理

三垂线定理的逆定理:如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

说明

(1)线射垂直(平面问题)⇒线斜垂直(空间问题);

(2)证明线线垂直的方法:定义法;线线垂直判定定理;三垂线定理;

(3)三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。

(4)直线a与PO可以相交,也可以异面。

(5)三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。

(6)可用来解决异面直线所成的角和二面角的平面角等问题。