数学：图片上的定积分，能不查公式直接一步步积出来吗？

可以的，分母根号内部配方，再换元。
√[x(1十x)]
=√[x十x²]
=√[x²十x十1/4-1/4]
=√[(x十1/2)²-1/4]
设t=x十1/2，x∈[1,2],t∈[3/2,5/2]
√[t²-1/4]
设t=secθ/2
=(1/2)tanθ

∫<1，2>dx/√[x(1+x)]=∫<1，2>dx/√(x²+x)
=∫<1，2>dx/√[(x+1/2)²-1/4]【令x+(1/2)=u，则dx=du；x=1时u=3/2；x=2时u=5/2】
=∫<3/2，5/2>du/√(u²-1/4)=2∫<3/2，5/2>du/√[(2u)²-1]
【设2u=sect，则u=(1/2)sect；du=(1/2)(sect)tantdt；u=3/2时t=arccos(1/3)；u=5/2时
t=arccos(1/5)】
=∫(sect)dt=[ln(sect+tant)]
=ln[(1/cost)+(sint/cost)]
=ln[1/(1/5)+√(1-1/25)/(1/5)]-ln[1/(1/3)+√(1-1/9)/(1/3)]-]
=ln(5+2√6)-ln(3+2√2)=ln[(5+2√6)/(3+2√2)];

先用三角代换求出原函数，再代入上限即可求出结果。

所谓不查公式，无非就是记住公式了，积分总是要公式的

供参考。