分两种情况考虑:当直线的斜率不存在时,根据直线过点,由的坐标得出直线的方程为,经验证满足题意;当直线的斜率存在时,设出斜率为,由及表示出直线的方程,根据圆的方程找出半径及圆心坐标,再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离,进而由弦长的一半,圆的半径及弦心距,利用勾股定理列出关于的方程,求出方程的解得到的值,可得出此时直线的方程,综上,得到所有满足题意的直线的方程.
解:分两种情况考虑:
当直线的斜率不存在时(或直线与轴垂直),
由,得到直线为,
该直线与圆相交于两点,,
满足,符合题意;(分)
当直线的斜率存在时,设直线的斜率为,
由,得到直线方程为,即,
由圆的方程,得到圆心坐标为,半径,
圆心到直线的距离,又,
,即,
整理得:,解得:,
此时直线的方程为,即,(分)
综上,直线的方程为或.(分)
此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:直线的点斜式方程,圆的标准方程,勾股定理,垂径定理,以及点到直线的距离公式,利用了分类讨论的思想,当直线与圆相交时,常常根据垂径定理由垂直得中点,进而由弦长的一半,圆的半径及弦心距构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题.
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