一道学以致用的数学题目求解

• 如果第一次攻击必中，且x>0，持第一件装备时，某一次攻击产生n次连击的概率为0.6*0.4^(n-1)，则某一次攻击产生伤害量的期望值为∑[nx*0.6*0.4^(n-1)]=0.6x*∑[n*0.4^(n-1)]

令T=∑[n*0.4^(n-1)]

有T-0.4T=∑[0.4^(n-1)]-n*0.4^n

等号右边第一项∑[0.4^(n-1)]在n趋近于无穷大时=1/0.6

等号右边第二项[-n*0.4^n]=-n/(2.5^n)在n趋近于无穷大时，应用洛必达法则可知极限为0

故在n趋近于无穷大时T=(1/0.6+0)/0.6=1/0.36

则所求期望值为0.6x/0.36=x/0.6=1.67x

持第二件装备某一次攻击伤害量的期望值为1.48x，故如果是长期持有，应选择第一件装备。

• 但是必须考虑持有7次的情况，首先持有第二件装备，7次攻击产生的伤害为10.36x，也就是说只要持有第一件装备能够进行11次伤害，则应选择持有第一件装备。

所以问题变为求解持有第一件装备7次攻击下只发生7、8、9、10次伤害的概率p，如果概率p极小，则持有第一件装备最优。

7次攻击只发生7次伤害：p7=0.6^7

7次攻击只发生8次伤害：p8=0.6^7*0.4*C7(1)=0.6^7*0.4*7

7次攻击只发生9次伤害：p9=0.6^7*0.4^2*[C7(1)+C7(2)]=0.6^7*0.4^2*28

7次攻击只发生10次伤害：p10=0.6^7*0.4^3*[C7(1)+C7(1)*C6(1)+C7(3)]=0.6^7*0.4^3*84

p=p7+p8+p9+p10小于38.3%

也就是说持有第一件装备7次攻击伤害大于持有第二件装备时的概率大于61.7%，可能性大。但38.3%并非小概率事件，不可忽视。

算第一种属性一回合一次攻击伤害M的数学期望，与1.48x比较即可
P（M=x）=0.6
P（M=2x）=0.4×0.6
P（M=3x）=0.4×0.4×0.6
……
P（M=nx）=0.4^（n-1）×0.6
数学期望E（m）=0.6x+0.4×0.6×（2x）+0.4×0.4×0.6×（3x）+……+0.4^（n-1）×0.6×（nx）
=0.6x×（1+2×0.4+3×0.4²+……+n×0.4^（n-1））
对于等差数列和等比数列相乘得到的数列{An}：2×0.4，3×0.4²，……，n×0.4^（n-1）的求和：
Sn=2×0.4+3×0.4²+……+n×0.4^（n-1） ①
0.4×Sn=2×0.4²+3×0.4³+……+n×0.4^n ②
②-①得：（0.4-1）Sn=n×0.4^n-2×0.4-0.4²-……-0.4^（n-1）
-0.6Sn=n×0.4^n-0.8-（2/3）×（1-0.4^（n-2））
Sn=[n×0.4^n-0.8-（2/3）×（1-0.4^（n-2））]÷（-0.6）
当n趋于无穷大时，Sn=22/9
E（M）=0.6x×（1+22/9）=31x/15
结论：
选第一种属性，一回合一次攻击可以打出的伤害的数学期望为31x/15，比基础伤害的两倍都大。选第二种属性，伤害固定为1.48x。应该选第一种属性。