设映射f：X→Y,A是X的子集B是X的子集证明（1）f（A∪B）=f（A）∪f（B）(2)f(A∩B)是f（A）∩f（B）的子集

f(A∪B)=f(A)∪f(B)

对于x属于A∪B

x属于A或

x属于B

f(x)属于f(A)或

f(x)属于f(B)

f(x)属于f(A)∪f(B)

易知

f(A)是f(A∪B)的子集

f(B)是f(A∪B)的子集

所以

f(A)∪f(B)是f(A∪B)的子集

故f(A∪B)=f(A)∪f(B)

证明：

给定任意集合A，要证明∅是A的子集。这要求给出所有∅的元素是A的元素；但是，∅没有元素。对有经验的数学家们来说，推论“∅没有元素，所以∅的所有元素是A 的元素"是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。 因为∅没有任何元素，如何使"这些元素"成为别的集合的元素？ 换一种思维将有所帮助。

(1)
f(A∪B)=f(A)∪f(B):
对于x属于A∪B
x属于A或
x属于B
f(x)属于f(A)或
f(x)属于f(B)
f(x)属于f(A)∪f(B)

易知
f(A)是f(A∪B)的子集
f(B)是f(A∪B)的子集
所以
f(A)∪f(B)是f(A∪B)的子集

故f(A∪B)=f(A)∪f(B)

(2)f(A∩B)是f(A)∩f(B)的子集
A∩B是f(A)的子集
A∩B是f(B)的子集
故A∩B是f(A)∩f(B)的子集

但是由于f不一定是单射，即
f(x)=f(y)不一定意味着x=y
那么f(A)∩f(B)还可能包含多射的结果。

故A∩B是f(A)∩f(B)的子集