x,y,z非负且x+y+z=1 求x^4+y^4+z^4-x^5-y^5-z^5的最大值

答案: x=0.79 y=0.21 z=0  最大值f(x,y,z)=0.0833

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可以先求出有两个变量时的最大值, 再引入第三个变量

f(x)+f(y)=x^4-x^5+(1-x)^4-(1-x)^5   最大值导数为0

[f(x)+f(y)]'=4x^3-5x^4-4(1-x)^3+5(1-x)^4 =-12x^3+18x^2-8x+1=0

可以用逼近法求出这个三次方程的解是x=0.7887 (≈0.79)

当x=0.79  y=0.21  最大值f(x)+f(y)=0.0833

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当出现z, 且x+y+z=1时, 可证明:f(x)+f(y)+f(z)

就是z的出现, 使得f(x)+f(y)+f(z)的最大值反而小于只有x和y两个变量时的最大值

所以只有z=0, 才能保证 f(x)+f(y)+f(z)最大

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下面证明 f(x)+f(y)+f(z)

由于z>0  那么x和y就要从0.79和0.21相应减少一些

从 f'(x)=4x^3-5x^4  f''(x)=12x^2-20x^3

可知 f(x)在(0，0.8)内连续递增, 同时在(0，0.6)内是f'(x)增大的增函数

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设z=a+b   x,y分别变成0.79-a , 0.21-b

f'(x) f'(y) f'(z)分别是f(x)=x^4-x^5 在(0.79-a，0.79)(0.21-b，0.21)(0，a+b)内的平均导数 

当z<0.21时，f'(z)

f(x)+f(y)+f(z) 总和是减小的

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z>0.21时 ,虽然f(z)的增量大于f(y)的减量, 但是 f'(z)

在总值中占大部分的 f(x) 会明显减小, 这样 f(x)+f(y)+f(z) 总和仍然会减小

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所以当x=0.79, y=0.21, z=0时  有最大值0.0833

如果有没说清楚的, 咱们可以继续讨论....