关于泰勒展开的拉格朗日余项的问题

一个函数的泰勒展开的拉格朗日余项是不同，是展开点变化拉格朗日余项不同？还是跟x的值也有关?比如fx在0点展开，代f1和f-1时拉格朗日余项是否相同?

2026年09月19日 13:44

有1个网友回答

网友（1）：

您好，
我重新描述一下你的问题：
考虑(p - 1)阶的Taylor展开：f(x) = f(x0) + f'(x0)*(x - x0) + f''(x0)/2*(x - x0)^2 + ... + o(x^p)，这个余项是否会因为x的不同而不同？
我的理解是，从形式上说，给定p的情况下，它们是相同；从取值上说，则还与x、x0的取值有关。第一，从形式上说，只要给定展开阶数，无论x和x0如何，都大致呈(x - x0)^p的形式，只是乘以的常数项有所区别；第二，从取值上说，它的余项取值会受到p、x和x0的同时影响，因此余项不尽相同；
事实上，形式表示余项为L(x) = fp(x)*(wx + (1-w)x0)/p! * (x - x0)^p，所以你可以看到对于每个x来说，它都是同形式的，但是具体取值而言是不同的。这个问题就好比问：f(x) = x + 3在x = 1和x = -1的时候f(x)相不相同。
希望对你有所帮助吧~
祝好