直角三角形斜边中线定理的逆定理2

如果直角三角形斜边上一点与直角顶点的连线与该点分斜边所得两条线段中任意一条相等，那么该点为斜边中点。
几何语言：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D在AB上，且AD=CD（或BD=CD），则AD=BD。
下面只证明当AD=CD时的情况，BD=CD只需要改字母即可。 在Rt△ABC中，∠ACB=90°
∵AD=CD
∴∠A=∠ACD（等边对等角）
∵∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余），∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°
∴∠B=∠BCD（等角的余角相等）
∴BD=CD（等角对等边）
∴AD=BD（等量代换） 作DE⊥AC，垂足为E
∵AD=CD
∴E是AC中点（三线合一）
∵BC⊥AC
∴DE∥BC
∴D是AB中点（三角形中位线定理逆定理，或平行线等分线段定理的推论） 延长CD到E，使DE=CD，连接AE
则AD=CD=CE/2
由逆定理1可知∠CAE=90°
∵∠ACB=90°
∴AE∥BC
∴∠AED=∠BCD
∵∠ADE=∠BDC，DE=CD
∴△ADE≌△BDC（ASA）
∴AD=BD 解析几何证明：
以C为原点，CB、CA为坐标轴建系，设B（b,0）、A（0,a）
又设AD/DB=t，t>0，由定比分点坐标公式得

∵|CD|=|AD|
由两点间距离公式，有
整理得
∴1=t²，t=1
即AD=DB