如何证明1、x^2、x^3……x^n线性无关

综述如下：

设k, k,..., k满足k+kx+kx^2+...+kx^n = 0

即多项式f(x) = k+kx+kx^2+...+kx^n恒等于0

取数域中n+1个两两不同的数x, x,..., x,代入得

k+kx+kx^2+...+kx^n = 0

k+kx+kx^2+...+kx^n = 0

...

k+kx+kx^2+...+kx^n = 0

这是关于k, k,..., k的齐次线性方程组

系数行列式是非零的Vandermonde行列式

因此只有零解，即k = k = ... = k = 0

故1, x,..., x^n线性无关

线性特性是卷积运算的性质之一，即设a，b为任意常数，则对于函数f(z，y)，h(x，y)和g(x，y)，

{af(x，Y)+bh(z，y)}*g(z，y)=af(x，y)*g(x，y)+bh(x，y)*g(z，y)。

培养数学兴趣：重新认识数学

摆脱以往对数学复杂、枯燥的刻板印象，我们重新认识一下数学。提起数学，很多人会先想到加减乘除的运算、难以记忆的公式，其实这只是数学的一小部分，数学宇宙远比我们想象的更为广阔。

从宏观上的经济原理，到微观上的DNA双螺旋结构；从美术作品中的人体比例，到地图中海岸线的描绘；从毛衣的编织图案，到扑克牌游戏的规则……万物皆蕴含数学原理，如果我们把它局限于一门课程，往往会错过数学的美。

反证法，如果1,x,x^2,x^3,……,x^n线性相关，则存在不全为零的常数
k0,k1,…,kn,使k0*1+k1*x+ k2*x^2 +k2*x^3+……+kn*x^n恒等于零，而k0*1+k1*x+ k2*x^2 +k2*x^3+……+kn*x^n是次数不超过n的多项式，它最多有n个零点，如果它对任意x其值为零，该多项式化为零，即k0=k1=…=kn=0,矛盾。