好吧问答库 > 求方程x눀y✀✀+xy✀=1满足初始条件y|x=1=0,y✀|x=1=1的特解

求方程x눀y✀✀+xy✀=1满足初始条件y|x=1=0,y✀|x=1=1的特解

2026年09月18日 15:51

有1个网友回答

网友（1）：

令p=y',则原初值问题化为一阶线性微分方程初值问题
x^2p'+xp=1, p|{x=1}=1，或 p'+(1/x)*p=1/x^2, p|{x=1}=1
利用变量分离法和参数变异法，可以解得
p=(lnx+lnC1)/x,
由初值条件 p(1)=lnC1=1,得，C1=e
于是 y'=p=(1+lnx)/x, y(1)=0
积分得到 y(x)=(1+lnx)^2/2+C2
由初值条件 y(1)=1/2+C2=0, 得，C2=-1/2
所以,原初值问题的解为 y(x)=(1+lnx)^2/2 -1/2= lnx + (lnx)^2/2

这是一个Euler方程，也可以利用Euler的通解公式求解。