求圆心在直线上,且过两圆,交点的圆的方程.

本题利用直线与圆的位置关系,求解圆的标准方程和一般方程;有多种解法:
一是利用圆心到两交点的距离相等求圆心,先两圆方程联立求出两圆的交点坐标,再利用圆心在直线上,可设圆心坐标为,利用两点间距离公式得方程求出,进一步可得出圆心坐标,从而得到圆的方程;
二是可利用弦的垂直平分线过圆心,先求出弦的中垂线方程,以及由已知直线过圆心,联立方程组可求得圆心坐标,进而求出圆的方程;
三是利用待定系数法求圆的方程,设出圆的标准方程,利用两交点坐标列出方程,以及圆心在直线上,得到解出,,可得圆的方程.
四是利用"圆系"方程的概念求圆的方程,于是可设所求圆的方程为,得到其圆心坐标,再代入可得出的值,反代入圆系方程化简得出圆的方程来.
解法一:(利用圆心到两交点的距离相等求圆心)
将两圆的方程联立得方程组,
解这个方程组求得两圆的交点坐标,.
因所求圆心在直线上,故设所求圆心坐标为,则它到上面的两上交点
和的距离相等,故有,
即,,,从而圆心坐标是.
又,故所求圆的方程为.
解法二:(利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程)
同解法一求得两交点坐标,,弦的中垂线为,
它与直线交点就是圆心,又半径,
故所求圆的方程为.
解法三:(用待定系数法求圆的方程)
同解法一求得两交点坐标为,.
设所求圆的方程为,因两点在此圆上,且圆心在上,所以得方
程组,解之得,
故所求圆的方程为.
解法四:(用"圆系"方法求圆的方程.过后想想为什么?)
设所求圆的方程为,
即.
可知圆心坐标为.
因圆心在直线上,所以,解得.
将代入所设方程并化简,求圆的方程.
本题考查直线和圆的方程,直线与圆的位置关系,考查了圆的几何性质,圆的方程的求法--待定系数法求方程的思想方法,圆系方程的概念.