已知点P（2，2），圆C：x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

已知点P（2，2），圆C：x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）当弦AB长度最短时，求l的方程及弦AB的长度；（2）求M的轨迹方程．

2026年09月18日 19:58

有1个网友回答

网友（1）：

（1）圆C的方程可化为x²+（y-4）²=16，所以圆心为C（0，4），半径为4．
当AB⊥MC时弦AB最短，此时AB=2

R2?CP2

，l的方程x-2y+2=0；
（2）设M（x，y），则

=（x，y-4），

=（2-x，2-y），
由题设知

=0，
故x（2-x）+（y-4）（2-y）=0，即（x-1）²+（y-3）²=2．
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是（x-1）²+（y-3）²=2．