高数，这道题为什么不能用等价无穷小？

简单分析一下即可，详情如图所示

可以用。需要注意的是“t→0时，ln(1+t)=t+O(t)=t-t/2+O(t)=……”，∴t、t-t/2、…，都是ln(1+t)的等价无穷小【不能拘泥于教科书讲的ln(1+t)~t】。
一般地，当题中出现的幂指数n(n≥1）是多少，就取其泰勒展开式的前n+1即可。
本题中，出现了“x²”项，取“ln(1+1/x)~1/x-1/(2x²)+1/(3x³)”即可得，原式=e^(-1/2)。

lim(x->+无穷) e^x/(1+1/x)^(x^2)

不能用等价原因是，没有跟其他比较，不能直接 lim(x->+无穷) (1+1/x)^(x^2) =e^x

它是比e^x 多一点东西, 那就是e^(x -1/2)

=lim(x->+无穷) e^x/e^[ln(1+1/x)/x^2]

=lim(x->+无穷) e^x/e^[(1/x -(1/2)x^2) /x^2]

=lim(x->+无穷) e^x/e^(x -1/2)

把e^x约掉

=e^(1/2)

因此，可得出

lim(x->+无穷) e^x/(1+1/x)^(x^2)=e^(1/2)

可以用等价无穷小啊，变为1/x，也可以洛必达，用洛必达的话只能用1次，变为ex/2x后就是1/0不能再用，这两种方法结果一样，结果都是无穷

lim(x->+无穷) e^x/(1+1/x)^(x^2)

不能用等价原因是，没有跟其他比较，不能直接 lim(x->+无穷) (1+1/x)^(x^2) =e^x

它是比e^x 多一点东西, 那就是e^(x -1/2)

=lim(x->+无穷) e^x/e^[ln(1+1/x)/x^2]

=lim(x->+无穷) e^x/e^[(1/x -(1/2)x^2) /x^2]

=lim(x->+无穷) e^x/e^(x -1/2)

把e^x约掉

=e^(1/2)

因此，可得出

lim(x->+无穷) e^x/(1+1/x)^(x^2)=e^(1/2)